Czy faktycznie nie można z danym pracownikiem podpisywać nowej umowy co 3msc?

Nie trzeba robić przerw, żaden przepis tak nie stanowi.
Ale...
No właśnie jest ale, mianowicie art. 22 par. 1 KP stanowi:
Przez nawiązanie stosunku pracy pracownik zobowiązuje się do wykonywania pracy określonego rodzaju na rzecz pracodawcy i pod jego kierownictwem oraz w miejscu i czasie wyznaczonym przez pracodawcę, a pracodawca - do zatrudniania pracownika za wynagrodzeniem.
par. 1 [2] Zatrudnienie w warunkach określonych w § 1 jest zatrudnieniem na podstawie stosunku pracy, bez względu na nazwę zawartej przez strony umowy.
i wreszcie par. 2 (z tym właśnie ale...).
Nie jest dopuszczalne zastąpienie umowy o pracę umową cywilnoprawną przy zachowaniu warunków wykonywania pracy, określonych w § 1.
A więc skoro twoja UZ, wyczerpuje znamiona art. 22, bez względu na nazwę zawartej umowy jest umową o pracę.